のように定義されていますが,ここでは についての総和記号が省略されています.


Step1. ベクトル達を直交化する 次の数式を用いて、新しいベクトル\(\boldsymbol\)〜\(\boldsymbol\)を順番に生成していきます。
\boldsymbol &\leftarrow& \boldsymbol \\
\boldsymbol &\leftarrow& \boldsymbol – \frac<(\boldsymbol,\boldsymbol)><(\boldsymbol,\boldsymbol)>\boldsymbol クロネッカーデルタとは \\
\boldsymbol &\leftarrow& \boldsymbol – \Bigl(\frac<(\boldsymbol,\boldsymbol)><(\boldsymbol,\boldsymbol)>\boldsymbol + \frac<(\boldsymbol,\boldsymbol)><(\boldsymbol,\boldsymbol)>\boldsymbol\Bigr) クロネッカーデルタとは \\
&…& \\
\boldsymbol &\leftarrow& \boldsymbol – \sum_^\frac<(\boldsymbol,\boldsymbol)><(\boldsymbol,\boldsymbol)>\boldsymbol
\endこの作り方によって、\(\boldsymbol\)〜\(\boldsymbol\)は、全て互いに直交するベクトルの組となります。(本当に直交するの?と思う人は、内積を順番に計算して確かめてみましょう。) Step2. ベクトル達を正規化する \(\boldsymbol\)〜\(\boldsymbol\)の長さを1に揃えます。方法は簡単で、ベクトルに対して、そのベクトルの大きさを割る(つまり逆数をスカラー倍する)だけです。$$\boldsymbol \leftarrow \frac<|\boldsymbol|>\boldsymbol \ (i=1,2,…,n)$$






(\boldsymbol,\boldsymbol)&=&(\sum_^p_\boldsymbol,\sum_^p_\boldsymbol) \\ クロネッカーデルタとは クロネッカーデルタとは
&=&\sum_^\sum_^p_p_(\boldsymbol,\boldsymbol) \\
\end1段目から2段目の変形は、内積がもつ分配法則の性質に基づいて愚直に展開しただけです。そして、\(\boldsymbol\)〜\(\boldsymbol\)クロネッカーデルタとは が正規直交基底であることを利用して、2段目の中から異なるベクトルの内積を0として消し去り、同じベクトルの内積を1として成分のみを残した結果、3段目の式が得られます。


$$^PP=E \Leftrightarrow \boldsymbol,クロネッカーデルタとは …,\boldsymbolは正規直交基底$$



and along the west coast to the south up to クロネッカーデルタとは Viakhtu Bay or along the eastern coast up to Lunsky bay (Nechaev, 1991).

ライネッカー ュヴェツィンゲンに設置された GRN GmbH ヘルスセンターは、4 と系列薬局、3 クロネッカーデルタとは 者向けリハビリテーション診療所、2 者ケア センターで構成される集合コミュニティです。

Based at Schwetzingen City of the Rhein-Neckar district, the Health Centers of GRN GmbH is a community of four hospitals with associated pharmacies, three クロネッカーデルタとは geriatric rehabilitation clinics, and two senior care centers.

その反面、 をマイクロスレッド化することで、従 DRAM コアと比べて列サイクル時間(tCC)を最大 1/2 に短縮しながらも、DRAM コアがコスト効率よく特 タ転送速度および粒度を維持できるようにします。

Conversely, micro-threading of the column operation enables a DRAM core to cost-effectively sustain a specific data transfer and granularity while relaxing the column cycle time (tCC) by up to two times compared to those of a conventional [. ]

Join the thousands of music lovers from all over the world who peregrinate to the Delta Blues Museum, located in an 1812 train station [. ]

Using the acclaimed sigma-delta A/D converter technology, these provide excellent performance characteristics [. ]

[. ] trade settlement in a pilot basis: between the Guangdong/Yangtze Delta region and Hong Kong/Macao and between Guangxi/Yunnan and ASEAN.

Gamma-delta T cell therapy: Mononuclear cells from the peripheral blood クロネッカーデルタとは of a patient are cultivated using a combination of [. ]

resulting in selective activation and proliferation of gamma-delta T cells, which are then infused back into the patient’s クロネッカーデルタとは body.

Your Excellency, I am very concerned about the impact クロネッカーデルタとは that oil industry pollution is having on the human rights of people in the Niger Delta.

マイケル·クロフォードは私たちに指摘した彼の1977本の中で "我々は何もそれについて行われなかった場合1977th世 、冠状動脈性心臓 は、20st世紀に従うべきだろう クロ ロフォード、21)今日食べる食物脳と精神疾患で同 による。

Michael Crawford pointed out to us that in his 1977 book "the Food We Eat Today (Crawford and Crawford, 1977) that the rise in coronary heart disease during the 20th century would, if nothing were done about it, be followed in the 21st century by a similar increase クロネッカーデルタとは クロネッカーデルタとは in brain and mental disorders.

持分法適用会社は、1)エレクトロニクス分野:日本のLCD合弁会社であるエスティ・エル シーディ(株)(以下「ST-LCD」)、日 量高速通信サービス事業会社である (株 ) クロネッカーデルタとは クロ ェイブ コミュニケーションズ(以下「CWC」)、米 ウン管向けガラス材料合弁会 社であるアメリカン・ビデオ・グラス・カンパニー(以下「AVGC」)、2)クロネッカーデルタとは 音楽分野:音楽・ ビデオ通販会社であるコロンビア・ハウス・カンパニー(以下「CHC」)、3)映画分野:米国 のスペイン語番組制作・放送グループであるテレムンド、4)その他分野:ドイツの商業施設等の 事業、日本の放送関連事業などで構成されています。

(“CWC”), a highcapacity/high-speed network services provider in Japan; American Video Glass Company (“AVGC”), a joint venture for CRT glass material in the U.S.; ii) in the Music business - The Columbia House Company (“CHC”), a direct marketer of music and videos, クロネッカーデルタとは iii) in the Pictures business - Telemundo, a U.S. based Spanish language television network and station group, and iv) in the Other business - a commercial- and other- use facility businesses in Germany and broadcasting-related businesses in Japan.

It is a new type microscope having the best properties of not only the fluid motion by video microscope but also the high-resolution by USB microscope.

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PASSLABO in 東大医学部発「朝10分」の受験勉強cafe

令和元年5月1日から動画投稿開始です! メンバー4人で「Youtube」スタートを切りました。 PASSLABO in 東大医学部発「朝1.

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ベクトル解析公式の証明 – 準備篇

一方, ベクトル解析は直感に訴えるものであるが, それらを組み合わせた公式には直感だけでは覚えにくいものもある.


ベクトルやスカラーの定義, 内積や外積の計算概念自体は既知とし, あくまでそれらの数学を道具として扱うことでどんな公式が得られるかを知ることを目的とする. 要するに, クロネッカーデルタとは 大学程度の物理屋さんの感覚で議論させてもらう.

空間としては3次元空間を扱うこととする. また, \(\vb*_\) を3次元空間の互いに直交した単位ベクトルとする.

つづくしばらくの項目で, ベクトル解析を記述する為の道具としてクロネッカーのデルタと, レヴィ=チヴィタ記号の二つを導入する.

また, Einsteinの提唱した略記法としてEinsteinの総和規約を導入することで, 紙と労力の大いな節約を行う.

クロネッカーのデルタ (Kronecker delta)

次式であらわれるような記号, クロネッカーのデルタを導入する. \[\begin クロネッカーデルタとは クロネッカーデルタとは \delta_ \mathrel<\mathop:>= \left\< \begin 1 & ( i = j ) \\ 0 & ( i \not = j) \\ \end \right. \end\] つまり, \[ \begin \delta_ &=\delta_=\delta_=1 \quad .\\ \delta_ &=\delta_=\delta_ \\ & = \delta_=\delta_=\delta_=0 \quad . \end\] というのをまとめ書きした記号ということである.

3次元の直交した単位ベクトル同士の内積 \( \vb*_ \cdot \vb*_ \) というのはクロネッカーのデルタと同等の性質を持っており, クロネッカーデルタとは \[ \vb*_ \cdot \vb*_ = \delta_ \] が成立する.

レヴィ=チヴィタ記号 (Levi-Civita クロネッカーデルタとは symbol)

外積の満たす代数を取り扱うため, 次のような性質を持つ記号, レヴィ=チヴィタ記号を導入する. \[\begin \epsilon_ \mathrel<\mathop:>= \left\< \begin 1 & (\text) \\ -1 & (\text) \\ 0 & (\text) \\ \end \right. \quad. \end\] つまり, \[ \begin \epsilon_ &=\epsilon_=\epsilon_=1 \quad .\\ \epsilon_ &=\epsilon_=\epsilon_=-1 \quad .\\ \epsilon_ &=\epsilon_=\epsilon_ \\ & = \epsilon_=\epsilon_ \\ & = \epsilon_=\epsilon_=0 \quad .\\ \epsilon_ &=\epsilon_ \\ & = \epsilon_=\epsilon_=\epsilon_ \\ & = \epsilon_=\epsilon_=0 \quad .\\ \epsilon_ &=\epsilon_ \\ & = \epsilon_=\epsilon_ \\ & = \epsilon_=\epsilon_=\epsilon_=0 \quad .\\ \end\] というのをまとめ書きした記号である.

レヴィ=チヴィタ記号も3次元の直交した単位ベクトルを用いて次のように表現できる. \[ クロネッカーデルタとは クロネッカーデルタとは \left| \vb*_ \ \vb*_ \ \vb*_ \right| \mathrel<\mathop:>= \vb*_ \cdot \left( \vb*_ \times \vb*_ \right) = \epsilon_ \quad . \] クロネッカーデルタとは クロネッカーデルタとは 実際にこの性質を持っているかどうかは諸君の手で確かめて欲しい.

ここで, “ \(\times\) ”は外積操作を表す演算子であり, 最左辺の式はスカラー三重積と呼ばれるものである,

Einsteinの総和規約 (Einstein summation convention)

単項の中に二回以上同じ添字があらわれた時, その添字については和をとることを約束する, すなわち, \[A_ B_ = \sum_^<> A_ B_\] クロネッカーデルタとは クロネッカーデルタとは といった具合である.

ただし, \(i\) の添字の和を取る範囲については適宜適切なぶんだけ走らせることにする.

このページでは3次元空間のみを扱うので, \(i\) は \(1\) から \(3\) まで走らせることになる. それ以外の場合にはその都度 \( i \) クロネッカーデルタとは を走らせる範囲を明記することにする.


><\partial>=\delta_" /> (ただし,δはクロネッカーのデルタ)は当たり前に理解できるのですが, ><\partial>" /> だとどうなるのでしょう?

分からないのは, ><\partial>= \frac<\partial><\partial> * \frac<\partial><\partial> =2x_i * \delta_" /> ここまではあっていて,この式の意味は要するに i=kなら ,i≠kなら0,となって正しいと思います.

2x_i * \delta_<ik></p>
<p>ここで,クロネッカーのデルタのいわゆる とできると思うのですが,

<p>><\partial<x_k>>= 2x_k

Re: テンソルの微分計算について

わたなべ さんのレス (2008/01/11(Fri) 03:10)

x_i*x_i = x_1*x_1+x_2*x_2 + x_3*x_3 + .

Re: クロネッカーデルタとは テンソルの微分計算について

よしぼー さんのレス (2008/01/11(Fri) 03:24)

ご回答ありがとうございます. 私が質問したいのは についてです. 貴方は についてお話をされていますが, ではないでしょうか?


だと,iについて総和規約が適用されて確かに貴方が言われているようなことになりますが, すいませんが,ここでの質問とは違うような気がするのですが…

Re: テンソルの微分計算について

yama さんのレス (2008/01/11(Fri) 08:40)

=2x_k" /> はiについて総和をとる場合に成り立つ式であって,総和をとらない場合には成り立ちません.つまり総和記号が省略されていると考えないといけません.また, を と表すこともあります.

Re: テンソルの微分計算について

よしぼー さんのレス (2008/01/11(Fri) 18:07)

2x_i * \delta_<ik></p>
<p>?私の最初の書き込みで としたところまでは正しいのでしょうか?

2x_i * \delta_<ik></p>
<p>? > =2x_k はiについて総和をとる場合に成り立つ式であって,総和をとらない場合には成り立ちません.

2x_i * \delta_<ik></p>
<p>と言われているのは,私の最初の書き込みで のところまで書いて,"但し,総和はとらない" と注釈にでも書くのが正しい,ということでしょうか?大学では,単に"指標の置き換えの約束"だけを言われたので,とにかく機械的にやってよいのだと思っていましたが,そうではないということですね.

の34pとかはどうなのでしょう. ここにも, と書いてありますし, 少なくとも クロネッカーデルタとは クロネッカーデルタとは だと思っていました.

そこに書いてあるとおり, だと,iは一回のみ出てくるため, それが総和規約が適用されるiと解釈することになる理由がよく分かりません. (それでは,例えばi=1など,特定のiについて とか言いたい場合にはどのようにされるのですか?などの疑問が湧いてきます)

Re: テンソルの微分計算について

yama さんのレス (2008/01/12(Sat) 00:07)

?総和規約というのは,国際的な規則や取り決めではなく慣用的なものなので,文献によって多少異なる扱いをすることがあります. ご紹介のサイトでは,文字として実際に2回現れる添字についてのみ総和記号を省略することにしているようですね. それに対して, を の略記であるとして,総和記号を省略している文献もあります.たとえば「ランダウ=リフシッツ力学」では,慣性テンソルが



のように定義されていますが,ここでは についての総和記号が省略されています.

Re: テンソルの微分計算について

よしぼー さんのレス (2008/01/12(Sat) 01:18)

私のもともとの疑問は解決できました. ?についてもよく分かりました.ご紹介頂いたような立場の文献もある というわけですね.いずれにしても状況に応じて考えないといけないわけですね.


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